Twierdzenie to wytłumaczono na przykładzie odcinka. Odcinek ten poddano odwzorowaniu zwężającemu w siebie.

Niech lewy koniec odcinka odwzorowuje się na dowolny punkt odcinka. Jeśli ten punkt po przekształceniu jest również lewym końcem odcinka, to będzie to punkt stały. W innym przypadku wybrany punkt przesuwa się ku prawemu końcowi. Identycznie jest z prawym końcem odcinka przesuwającym się w lewą stronę, tak więc odcinek się kurczy w wyniku działania odwzorowania zwężającego. Jeżeli punkty z prawej strony przesuwają się w lewo i odwrotnie, to istnieje punkt na odcinku w którym ruch zmieni się na przeciwny, jest to punkt stały, odwzorowujący się na siebie.

Twierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i ważne zastosowania. Wykazuje się przy jego pomocy twierdzenie o funkcji odwrotnej; jest ono też wykorzystywane m.in. w teorii równań całkowych i różniczkowych. Prosto przedstawić można jego istotę za pomocą mapy, gdy położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z odpowiadającym mu punktem na ziemi.

Każde ciągłe odwzorowanie zwężające A: M→ M zupełnej przestrzeni metrycznej M, ma jeden i tylko jeden punkt stały

Dla potwierdzenia tego twierdzenia wystarczy dowieść że ciąg jest ciągiem Couchy'ego. Punkt stały więc istnieje i jest tylko jeden.