Przestrzenią metryczną X nazywamy zbiór punktów oznaczonych jako X (nazywanym nośnikiem przestrzeni) wraz z pewną operacją ρ, (metryką), która wszystkim uporządkowanym parą (a, b) elementów a, b przestrzeni X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, nieujemną ρ (a, b), zwaną odległością punktu a do punktu b, przy czym ρ spełnia aksjomaty metryki:  Podaną powyżej definicję można uzupełnić stwierdzeniem o ciągu {a1, a2, a3 …} punktów przestrzeni metrycznej X nazywanego ciągiem Cauchy’ego (lub ciągiem podstawowym), jeżeli ρ (an,am) →0 przy n, m → ∞. Zdefiniowano również przestrzeń metryczną zupełną:Przestrzeń metryczna X jest zupełna, jeżeli każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny do pewnego punktu w przestrzeni X. Punkt ten nazywano granicą ciągu Cauchy’ego. Dla przykładu rozważono odcinek (0, 1) z metrykaą euklidesową. Ciąg  jest ciągiem Cauchy’ego. Nie ma on granicy w przestrzeni X = (0, 1). Zatem nie jest to przestrzeń zupełna, ponieważ istnieje taki ciąg Cauchy’ego, którego granicą będzie liczba niewymierna, nie należąca do przestrzeni, której nośnikiem są liczby wymierne. |
