|
Układy odwzorowań iterowanych |
 |
 |
Pierwszą dedukcyjną teorią aksjomatyczną była geometria euklidesowa. Teoria ta oparta na aksjomatach, czyli na twierdzeniach, które przyjmuje się bez dowodu. Na przełomie wieków powstało wiele systemów geometrycznych różnych od geometrii euklidesowej. Rozważania na temat fraktali sugerują, iż będzie mowa o geometrii fraktalnej. Mimo, iż fraktale są tworami o bardzo skomplikowanych kształtach, ich sposób powstawania z matematycznego punktu widzenia jest prosty, bo jest określony przez niewielką liczbę parametrów. Jedną z metod matematycznych pomocnych w definiowaniu takich struktur są układy odwzorowań iterowanych (ang. IFS Iterated Function System). System ten można wyjaśnić w sensie intuicyjnym za pomocą kopiarki wielokrotnie redukującej nazywanej często w skrócie KWR. Jej działanie jest oparte na zasadzie sprzężenia zwrotnego, o którym była mowa w jednym z poprzednich rozdziałów. Dla lepszego wyjaśnienia działania kopiarki posłużono się schematem:  Dowolną płaszczyznę lub przestrzeń trójwymiarowa (która jak wiadomo jest zbiorem), nazwanym zbiorem początkowym A0, wprowadzono zbiór do pamięci wejścia (oznaczenie wejście jako We). Następnie dane zostaną przetworzone przez procesor (P), za pomocą przekształcenia W(A0). Na wyjściu „maszyny” wyświetli się obraz po przekształceniu A1. Zadziała sprzężenia zwrotne, które obraz wynikowy A1 znów poda na wejście We, gdzie zostanie zmieniony za pomocą przekształcenia W(A1). Otrzymano obraz A2. Po przejściu n-razy, maszyna pokaże obraz An. Działanie kopiarki wielokrotnie redukującej kontroluje licznik K którego zadaniem jest zliczanie liczby cykli. Układy odwzorowań iterowanych to algorytm tworzenia fraktali bazujący na klasycznym twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. Wprowadza się w przestrzeni fraktali pewna operacje zwężająca, która gwarantuje istnienie jedynego zbioru niezmienniczego – fraktala. Aby zaznajomić się z systemami iterowanymi należy zaznajomić się z podstawami topologii. |
