Pierwszą dedukcyjną teorią aksjomatyczną była geometria euklidesowa. Teoria ta oparta na aksjomatach, czyli na twierdzeniach, które przyjmuje się bez dowodu. Na przełomie wieków powstało wiele systemów geometrycznych różnych od geometrii euklidesowej. Rozważania na temat fraktali sugerują, iż będzie mowa o geometrii fraktalnej.

Mimo, iż fraktale są tworami o bardzo skomplikowanych kształtach, ich sposób powstawania z matematycznego punktu widzenia jest prosty, bo jest określony przez niewielką liczbę parametrów.

Jedną z metod matematycznych pomocnych w definiowaniu takich struktur są układy odwzorowań iterowanych (ang. IFS Iterated Function System). System ten można wyjaśnić w sensie intuicyjnym za pomocą kopiarki wielokrotnie redukującej nazywanej często w skrócie KWR. Jej działanie jest oparte na zasadzie sprzężenia zwrotnego, o którym była mowa w jednym z poprzednich rozdziałów. Dla lepszego wyjaśnienia działania kopiarki posłużono się schematem:

Dowolny podzbiór płaszczyzny lub przestrzeni trójwymiarowej, który można nazwać zbiorem początkowym A₀ zostaje wprowadzony do pamięci W_e, następnie poddany działaniu procesora P, który przetwarza obraz zgodnie z przekształceniem W(A₀) w efekcie czego otrzymuje się obraz A₁. W wyniku sprzężenia zwrotnego obraz A_1e zostaje ponownie wprowadzony do pamięci We i poddany przekształceniu W(A₁), w związku z czym powstaje obraz A₂. Dla n-kroków otrzymano obraz A_n. Działanie KWR nazywane iterowaniem kontroluje jednostka K zliczająca liczbę cykli. Układ odwzorowań iterowanych, to algorytm tworzenia fraktali bazujący na klasycznym twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. Wprowadza się w przestrzeni fraktali pewną operację zwężającą, która gwarantuje istnienie jedynego zbioru niezmienniczego – fraktala