W latach 1918-1920 dwaj francuscy matematycy: Pierre Fatou i Gaston Julia prowadząc badania, odkryli bardzo fascynujące zbiory. Dzięki temu uzyskali uznanie i sławę w ośrodkach matematycznych owych czasów. Zbiór Julii jest zbiorem punktów na płaszczyźnie. Każdemu punktowi można przypisać pewien kolor. Zbiór Juli otrzymuje się przy pomocy iteracji. Aby otrzymać obrazek wystarczy posługiwać się jedynie podstawowymi działaniami matematycznymi. Wykonywanymi wielokrotnie. Dlatego też w praktyce zbiory Julii wizualizuje się przy pomocy komputera. Artykułem wyjściowym do odkrycia tych zbiorów była praca brytyjskiego matematyka Sir Artura Cayleya dotycząca wyznaczenia pierwiastków równania:

przy pomocy metody Newtona. Rozwiązywanie tym systemem sprowadza się do iteracji następującego równania:

Zapytanie jakie można postawić: do którego z zer na płaszczyźnie zespolonej dążą kolejne iteracje? W równaniu:

punkt początkowy wybierany jest dowolnie. Otrzymamy trzy rozwiązania, które działają jak magnesy dla iteracji. Można to zobrazować graficznie rysując rożnymi kolorami punkty startowe, z których iteracja dąży do jednego z trzech rozwiązań. Tym sposobem uzyskano obraz przedstawiający baseny przyciągania:

Rozwiązując iteracje otrzymano rozwiązania: 1,,. Te trzy regiony to baseny przyciągania pierwiastków równania. Julia zaznaczył, że baseny przyciągania mają wspólny brzeg i że każdy jego punkt jest trójrogiem tzn. dowolnie blisko każdego punktu brzegu można znaleźć punkty należące do każdego z tych basenów przyciągania. Brzegi pomiędzy basenami przyciągania nazwano zbiorami Julii. Tworzą się one na płaszczyźnie zespolonej w wyniku iteracji równania:

gdzie c jest liczbą zespoloną. Dla wielomianu: z² + c otrzymuje się ciąg liczb zespolonych

.

Ciąg ten tworzy w zależności od przyjętych wartości parametru c :

- ciąg nieograniczony; jeżeli elementy ciągu opuszczą każdy okrąg ze środkiem w centrum układu współrzędnych, będących zbiorem punktów z których otrzymujemy rodzaj zachowania dla danego parametru c. Bywa on nazywany zbiorem uciekinierów.

- ciąg ograniczony; jeżeli istnieje okrąg o środku w centrum układu współrzędnych, którego elementy ciągu nigdy nie opuszczą. Ciąg ten jest zbiorem punktów, z których startując otrzymuje się ten rodzaj zachowania dla danego parametru c. Bywa on nazywany zbiorem więźniów.

Wspólna granica zbiorów „uciekinierów” i „więźniów” dla przyjętego parametru c stanowi zbiór Julii.

 

 

Prace Gastona Julii stanowiły podstawę do dalszych badań Mandelbrota, który 50 lat później dzięki technikom komputerowym odkrył zbiór, nazwany na jego cześć zbiorem Mandelbrota. Podstawą jego odkrycia jest strukturalna dychotomia zbiorów Julii, polegająca na tym, że dla dowolnie wybranego parametru c zbiór jest:

- albo zbiorem spójnym (jednoczęściowym)

- albo zbiorem niespójnym (zbiorem punktów rozproszonych)

Na układzie kartezjańskim narysowano kwadrat o przeciwległych wierzchołkach (-2,-2) oraz (2,2), dla każdego z punktów w kwadracie (a jest ich nieskończenie wiele), przyporządkowany jest jeden zbiór Juli.