Zbiór ten ujrzał światło dzienne dzięki Mandelbrot’owi, jednemu z nielicznych matematyków, dobrze znającego prace Gastona Julii. Około roku 1979 Mandelbrot wpadł na pomysł, by zobaczyć, jak dychotomia ta wygląda w zbiorze parametrów c, zmieniających się na płaszczyźnie zespolonej C. Doprowadziło to bezpośrednio do odkrycia zbioru Mandelbrota. Benoit Mandelbrot zaznaczał każdy punkt (piksel na monitorze) na płaszczyźnie wartości c na czarno lub na biało, w zależności od tego czy odpowiadający mu zbiór Julii był spójny, czy też był zbiorem osobnych punktów. W wyniku powstał czarno-biały obraz, który z powodu ograniczeń grafiki dostępnej w tamtych czasach nie wyglądał ani specjalnie, ani efektownie.

W dzisiejszych czasach rozwój wizualizacji pozwala na dopasowanie kolorów w zależności od parametru c, po takim podstawieniu uzyskujemy kolorową wersję zbioru Mandelbrota.

Zbiór Mandelbrota jest najpopularniejszym fraktalem, chociaż jak twierdził sam jego twórca nie jest on tak naprawdę fraktalem w myśl większości definicji gdyż można nazwać go fraktalem brzegowym, granicznym fraktalem zawierającym wiele fraktali. Samopodobieństwo jakkolwiek inne niż w przypadku prezentowanych klasycznych fraktali jest jednak widoczne, zwłaszcza w kolejnych powiększeniach fragmentu zbioru, dających niepowtarzalne wrażenia estetyczne. Ciekawostką jest odkrycie japońskiego naukowca Mitsushiro Shishikury, który dowiódł, że wymiar fraktalny brzegu zbioru Mandelbrota jest równy 2.

Definicje zbioru Mandelbrota ułatwi ukazanie procesu jego powstawania, mianowicie cały zbiór Mandelbrota i większość pokrewnych mu zbiorów zajmuje obszar o kształcie kwadratu w układzie kartezjańskim od (-2,-2) do (2,2). W układzie współrzędnych narysowano okrąg o promieniu 2 i o środku w punkcie (0,0). Zaznaczone na wybranym obszarze punkty oznaczono jako c. Dla każdego z punktów c obliczono kolejne iteracje przekształcenia:

W przypadku zbioru Mandelbrota iterowanie funkcji startuje od wartości z = 0. Wiadomo, że jeżeli wartość bezwzględna jednej z kolejnych iteracji tej funkcji przekroczy 2 (punkt będzie leżał poza narysowanym okręgiem), to funkcja będzie uciekać do nieskończoności, czyli dany punkt c nie należy do zbioru. Jeśli jednak po nieskończonej ilości iteracji punkt nadal będzie leżał wewnątrz okręgu, to dany punkt c należy do zbioru. Można zaznaczyć go na czarno. Ograniczono ilość iteracji ze względu na ograniczenia czasowe. Wraz ze wzrostem iteracji, powstaje dokładniejszy rysunek. Tym samym, im większe powiększenie, tym większej ilości iteracji będziemy potrzebować, aby uzyskać zadowalającą jakość. W ten oto sposób otrzymano czarno-biały rysunek, który przedstawia zbiór Mandelbrota Analizując dokładniej powyższe rozważania można przeprowadzić sformalizowaną dyskusję postaci:

Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną. Odpowiada jej pewien punkt na płaszczyźnie zespolonej. Rozważmy teraz odwzorowanie, zgodnie z którym z zostaje zastąpione nową liczbą zespoloną:

g

gdzie c to pewna ustalona liczba zespolona. Liczbie:

odpowiada nowy punkt na płaszczyźnie R². Na przykład, jeśli

to odwzorowanie z ma postać:

.

Niezależnie od tego, jaka jest konkretna wartość c, 0 zostaje zawsze odwzorowane na c, a samo c zostaje zastąpione liczbą c²+c. Przypuśćmy, że teraz nastąpi odwzorowanie raz jeszcze. Otrzymano: po ponownym odwzorowaniu do otrzymanej właśnie liczby. Mamy teraz:

.

Kontynuując ten proces dostajemy ciąg liczb zespolonych, rozpoczynający się od zera: 0, c, c²+c, c⁴+2c³+c²+c.

Dla pewnych wartości c ten ciąg nigdy nie oddala się daleko od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej. Mówiąc dokładniej, dla takich wartości c ciąg pozostaje ograniczony. Oznacza to, że wszystkie wyrazy ciągu leżą wewnątrz ustalonego okręgu o środku w początku układu.

Dobry przykład takiego ciągu otrzymamy biorąc c = 0, gdyż w tym wypadku wszystkie wyrazy ciągu są równe zeru. Inny przykład ciągu ograniczonego dostaniemy biorąc c = -1, gdyż w tym wypadku ciąg ma postać 0, -1, 0, -1, 0, -1,... Jeszcze inny przykład mamy dla c = i, ponieważ wtedy ciąg ma postać 0, i, i -1,- i, i -1, - i, i -1,... Jednak dla wielu innych wartości c kolejne liczby oddalają się coraz bardziej od początku układu. Ciąg jest nieograniczony i nie można zamknąć wszystkich jego elementów w okręgu o ustalonym promieniu. Przykład takiego ciągu otrzymujemy biorąc c = 1. Wtedy dostajemy ciąg 0, 1, 2, 5, 26, 677, 458330, ... .

Zbiór Mandelbrota, czyli czarny obszar na rysunku, składa się z punktów na płaszczyźnie R² odpowiadających takim wartościom liczby c, że ciąg 0, c, c²+c... jest ograniczony. Niebieski obszar składa się z punktów odpowiadających liczbom c, dla których ciąg ten jest nieograniczony.

Komputer, aby wygenerować zbiór Mandelbrota w systematyczny sposób wybiera kolejne wartości c. Dla każdej z nich oblicza ciąg 0, c² +c,... i następnie decyduje, posługując się odpowiednimi kryteriami, czy ciąg jest ograniczony, czy nie. Jeśli tak, to komputer stawia na ekranie w miejscu odpowiadającym liczbie c ciemną plamkę, jeśli nie, komputer stawia białą plamkę. W ten sposób dla każdego elementu obrazu w rozważanym zakresie liczb c komputer rozstrzyga, czy ma on być biały, czy czarny.
Złożona struktura zbioru Mandelbrota jest niezwykle interesująca, zwłaszcza że jego definicja, jak na definicje matematyczne, jest uderzająco prosta. Prócz tego, ogólne cechy struktury tego zbioru nie zależą od algebraicznych szczegółów wybranego odwzorowania z→ z² + c. Wiele innych iterowanych odwzorowań liczb zespolonych (na przykład z→z³ + iz²) prowadzi do powstania uderzająco podobnych zbiorów (pod warunkiem, że rozpoczynamy od odpowiednio wybranej liczby — raczej nie od 0, lecz od liczby, której wartość wynika z jasnej, matematycznej reguły, właściwej dla danego odwzorowania).

Struktury Mandelbrota wykazują pewne uniwersalne, absolutne cechy, niezależne od szczegółów iterowanego odwzorowania. Dzisiaj zajmuje się badaniem takich struktur oddzielna dziedzina matematyki – nazywana badaniem zespolonych układów dynamicznych.