Patrząc na pojęcie wymiaru, napisano, iż prosta jest jednowymiarowa, wobec tego linie są to obiekty jednowymiarowe, natomiast płaszczyzna dwuwymiarowa. W rozdziale tym przedstawiono specyficzne obiekty, które choć są jedno wymiarowe, potrafią wypełnić obiekty o większym wymiarze. Krzywe nazwano wypełniającymi. Krzywe wypełniające, to ciągłe odwzorowanie przekształcające odcinek jednostkowy na n-wymiarową kostkę jednostkową. Wynika z tego, iż przez każdy punkt kostki, krzywa wypełniająca przechodzi co najmniej raz. Wypełnianie przestrzeni zostało opisane prawie równolegle przez Giuseppe Peano i Davida Hilberta. Krzywe wypełniające przestrzeń potwierdzają możliwość istnienia ciągłego odwzorowania przestrzeni o wymiarze mniejszym, w przestrzeni posiadającej większy wymiar. Jednak wypełnianie przestrzeni następuje pod pewnymi warunkami: odwzorowanie nie może być homeomorfizmem wynikającym z twierdzenia o niezmienności wymiaru przestrzeni i żadna krzywa wypełniająca nie może być odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. W literaturze krzywe te zaistniały jako krzywe patologiczne. Ich cechy zapisane zostały w galerii fraktali a one same dały nowe światło na pojęcie wymiaru w matematyce. Dzięki badaniom Peano i Hilberta, poznano krzywe, które wypełniają przestrzeń a dokładniej przechodzą przez wszystkie punkty danego obszaru. Przed G. Peano i D. Hilbertem była natura, która zastosowała je w organizmach żywych: krwioobieg składający się z naczyń krwionośnych (linia jednowymiarowa) zaopatruje w tlen i substancje odżywcze każdą komórkę organizmu.

Jednak 100 lat temu Peano i Hilbert nie wiedzieli, iż geometria fraktalna jest wszechobecna. Pokazały to dopiero prace Mandelbrota. Krzywe wykorzystano również do redukcji wymiaru przestrzeni danych przy zachowaniu ich podstawowych własności statystycznych . Obecnie wykorzystywane są przy przetwarzaniu i kodowaniu obrazów jako krzywe skanujące. Mimo, iż obydwie krzywe dążą do identycznego celu (wypełnienie kwadratu) ich sposób powstawania różni się.

Sposób powstawania krzywej Peano to zmodyfikowana wersja sposobu powstawania krzywej Kocha. Inicjatorem jej powstawania jest odcinek a generator przedstawia rysunek.

 

Generator zawiera się dokładnie w kwadracie. Właśnie przez punkty kwadratu przebiegnie krzywa Peano. Przedstawiono zasadę konstruowania krzywej Peano. Podczas zamiany inicjatora w generator, krzywa w dwóch punktach zostaje przecięta. Następnie zmieniono generator na przeskalowaną wersję. Czynnikiem pomniejszającym jest liczba 3, identycznie jak dla krzywej Kocha. Otrzymana krzywa przecina się w 32 punktach. Dalej proces powtarza się identycznie. W k-tym kroku otrzymano odcinki o długości co jest ciągiem gwałtownie malejącym. Można policzyć długość w kroku k, która wynosi 3^k. Powyższą zależność należy obliczyć wiedząc, iż długość jednostkowa jest równa 1, w pierwszym kroku jest równa 3, gdyż następnie w drugim kroku . Widać, że po każdym kroku konstrukcji krzywa wydłuża się o 3 wartości jednostkowe. Obserwując etapy tworzenia krzywej Peano i porównując ją do zbioru fraktali, samopodobieństwo tej krzywej jest trudniejsze do zauważenia. Na pewno w pierwszych krokach samopodobieństwo jest dobrze widoczne. Po k-iterowań będzie widać kwadrat, jednak nadal będzie to krzywa doskonale samopodobna. Jedynym problemem jest ludzka intuicja, gdyż graficzna reprezentacja tej figury przypomina rzeczywiście część płaszczyzny o kształcie kwadratu.

Krzywa Peano ma nieskończoną długość, cechy samopodobieństwa i przebiega przez każdy punkt kwadratu. Jej wymiar fraktalny jest równy:

 

,

wynik taki jak dla powierzchni, jednak jest to krzywa fraktalna .