Narysowanie podstawowych figur takich jak kwadrat, prostokąt czy koło, nie stanowi problemu, jak również operacje matematyczne na tych obiektach. W zasadzie dotyczy to większości prostszych figur, zarówno na płaszczyźnie jak i w przestrzeni. W 1904 roku, szwedzki matematyk Helge von Koch, stworzył bardzo ciekawą krzywą, która została wykorzystana do wielu uogólnień matematycznych, znaną później jako krzywa Kocha .

Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone, otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu lub śnieżynką Kocha:

Krzywą Kocha tworzy się w następujący sposób:

Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem. Następnie dzieli się ją na trzy równe części a na środkowej tworzy trójkąt równoboczny i usuwa jego podstawę. To pierwszy krok - generator krzywej Kocha. Ten sam algorytm wykonuje się na każdym z powstałych odcinków. Konstrukcja płatka śniegu wygląda identycznie. Wpierw rysuje się trójkąt równoboczny a następnie dzieli każdy bok aktualnej figury na trzy równe części, a na środkowej należy wstawić trójkąt równoboczny.

Pojawia się pytanie. Ile kroków powinno się wykonać, aby uzyskać oczekiwaną figurę? Odpowiedź brzmi: nieskończenie wiele razy! Idealnej krzywej Kocha, ani idealnego płatka śniegu nie uda się stworzyć nigdy, ze względu na ograniczoną rozdzielczość monitorów. Można jedynie przybliżać je tak bardzo, aby dla ludzkiego oka dodawanie kolejnych trójkątów było niezauważalne.

W ten sposób otrzymano fraktal, będący obiektem samopodobnym (samopodobieństwo jest wbudowane w proces tworzenia). Przyczyną powstania krzywej Kocha było zilustrowanie pracy matematyka Karla Weierstrassa. Matematyk ten opisał krzywą nieróżniczkowalną, czyli krzywą nie posiadającą stycznej w żadnym punkcie. Z rachunku różniczkowego wynika, że jeżeli w pewnym punkcie dowolna krzywa ma załamanie, to nie da się w tym punkcie dopasować jednoznacznie żadnej stycznej (jest ich nieskończenie wiele).

 

Poszukując można znaleźć uogólnienie krzywej Kocha pozwalające na tworzenie innych samopodobnych struktur takich jak kwadratowa krzywa Kocha pokazaną poniżej.

Wymyślając inicjator nie można wybierać go dowolnie, ponieważ musi być rodziną odcinków, natomiast generator musi być łamaną składającą się z tych odcinków starannie dobranych. Obliczając długość krzywej Kocha dla odcinka początkowego L, każdy odcinek jest równy dla 4 odcinków, dla k=2 odcinków jest a długość każdego rośnie do . Krzywa kocha składa się z odcinków więc można policzyć długość całej krzywej Po k- tym kroku długość wynosi więc:

ze wzoru wynika zatem, że krzywa ta dąży do nieskończoności, a jej wymiar samopodobieństwa wynosi:

 

.