|
|
 |
| "Nic w naturze nie jest przypadkowe. Rzeczy wydają się losowe tylko przez niepełność naszej wiedzy." |
|
|
|
|
|
|
Fraktale Sierpińskiego |
 |
 |
Dywan Sierpińskiego
O tym fraktalu mówi się, że jest klasyczny, jego nazwa pochodzi od nazwiska polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969). Trójkąt Sierpińskiego tworzy się niezwykle łatwo, gdyż jest jednym z prostszych fraktali. Podstawą geometryczną jego konstrukcji jest wypełniony trójkąt na płaszczyźnie (ważne, aby był wypełniony - tutaj kolorem czarnym).
Dokonując wielokrotnego usuwania części trójkąta, wybiera się środek każdego z boków. Wybrane punkty razem z wierzchołkami trójkąta początkowego wyznaczą cztery mniejsze trójkąty, z których należy usunąć trójkąt położony w środku. Krok ten jest podstawą tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po przejściu tego etapu pojawiają się trzy przystające trójkąty. Każdy z boków trójkątów, które powstały, jest równy połowie początkowej długości boku i łączy się z pozostałymi trójkątami dwoma wierzchołkami.
W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację. Po tej operacji otrzymuje się 9 trójkątów.
W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków. Poniżej pokazano trójkąt Sierpińskiego po piątym kroku konstrukcji. Posiada on już 243 trójkąty
Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem punktów płaszczyzny, które powstały w wyniku wykonania nieskończonej liczby kroków konstrukcji. Trzeba nadmienić również, że boki trójkątów powstałych podczas jego tworzenia są punktami, które do niego należą.
Samopodobieństwo jest wbudowane w proces konstrukcji, każda z trzech części w k-tym kroku jest dwukrotnie pomniejszoną wersją całej figury z poprzedniego kroku. Jego podstawowymi własnościami są: - zbiór domknięty;
- zbiór nigdzie gęsty;
- pole trójkąta Sierpińskiego jest równe 0.
Wymiar samopodobieństwa jest równy: Powyżej przedstawiona metoda nie jest jedyną w wyniku której można uzyskać trójkąt Sierpińskiego. Trójkąt ten uzyskuje się również grając w chaos (autorstwa M. Barnsleya), schemat gry jest następujący:Narysowano trójkąt równoboczny ABC i zdefiniowano D0 := punkt A. Wielokrotnie powtarza się operację losowego wyboru jednego z punktów A, B lub C, rysuje punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}.
Jeśli wybiera się D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to ponownie otrzymuje się (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt Dn do tego trójkąta nie należy, jednak otrzymuje się trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D0, D1, ...).
Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.
 Więcej na temat trójkąta Sierpińskiego można dowiedzieć się, odwiedzając muzeum Boymans van Beuningen w Rotterdamie. Wśród wielu wspaniałych obrazów jeden ma cechy wspólne z trójkątem Sierpińskiego. To Oblicze wojny Salvador Dali.
Kolejnym fascynującym przykładem trójkąta opisanym w literaturze, będzie trójkąt Pascala. Posiada on ciekawą cechę, mianowicie jego parzyste liczby po usunięciu tworzą trójkąt Sierpińskiego.
Dywan Sierpińskiego
W galerii klasycznych fraktali Sierpińskiego oprócz trójkąta jest jeszcze dywan. Jego proces powstawania przedstawiono na rysunku. Pokazano dywan po 7 krokach iteracji. Patrząc na rysunek można zauważyć, iż fraktal ten rzeczywiście przypomina dywan. 
Dywan Sierpińskiego powstaje w sposób analogiczny do trójkąta Sierpińskiego. Na początku tworzy się kwadrat na płaszczyźnie, będzie to INICJATOR, podzielony na 9 równych przystających kwadratów (generator). Następnym krokiem jest usunięcie środkowego kwadratu. 
Tak otrzymano 8 kwadratów, które posłużą w następnym kroku. Każdy z nich dzieli się na dziewięć równych części i znów należy usunąć z każdej z nich środkowy kwadrat. 
Następnie należy usunąć z każdego z kwadratów środek i po k-krokach rekurencyjnych otrzyma się 8+82+83+…+8k-1 pustych przestrzeni. Po 3 krokach konstrukcji dywan Sierpińskiego wygląda następująco:
Figurę jaką otrzymano w wyniku nieskończonego procesu można uważać jako uogólnienie zbioru Cantora. Prosta równoległa do podstawy początkowego kwadratu i przechodząca przez środek dywanu to dokładnie zbiór Cantora.
Po nieskończonej ilości kroków otrzymano fraktal, który charakteryzuje się tym, że jest to zbiór domknięty spójny, który nigdzie nie jest gęsty i posiada zerowe pole powierzchni. Jego wymiar wynosi:
Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0 – udowodniając:
Suma powyższego szeregu geometrycznego w nieskończoności wynosi:
w związku z tym powierzchnia
 .
Piramida Sierpińskiego Ostatnim fraktalem w galerii Sierpińskiego jest piramida. Najważniejszą różnicą oddzielającą ją od poprzednich fraktali klasycznych (trójkąta i dywanu Sierpińskiego) jest fakt, że nie powstaje ona na płaszczyźnie tylko w przestrzeni. To tak zwana bryła fraktalna.
Wymiar samopodobieństwa tej bryły jest liczbą całkowitą i wynosi dla : N(r) = 4 i r = 1/2. Więc:
Piramida Sierpińskiego jest fraktalem posiadającym całkowity wymiar fraktalny, objętość równą 0 oraz ściany boczne w postaci trójkątów Sierpińskiego. Proces jej tworzenia jest bardzo analogiczny do procesu pozostałych fraktali Sierpińskiego. Zbudowana jest z brył tzw. czworościanów foremnych (łać. tetraedr).
Biorąc ostrosłup o pewnym boku x, tworzy się podobne o boku 0,5x zawarte w dużym ostrosłupie w taki sposób, aby każdy z nich miał z nim wspólny wierzchołek. Następnie usunięty zostaje duży ostrosłup. Przedstawiony algorytm służy do tworzenia piramidy Sierpińskiego. Na rysunku znajduje się piramida wykonana za pomocą tego algorytmu. Inicjatorem jest czworościan foremny w kroku k=1.
W powstałych czworościanach należy powtórnie wykonać algorytm. Tak powstaje zaczątek piramidy, która składa się z 16 elementów:
o k-krokach piramida będzie posiadała:  pustych przestrzeni. Po wykonaniu nieskończonej ilości kroków, piramida Sierpińskiego nie będzie posiadać objętości. 
|
|
|
|
|
|
