Wymiar
Cechą charakterystyczną obiektów geometrycznych jest wymiar. Z punktu widzenia geometrii analitycznej, wymiar figury geometrycznej równa się liczbie współrzędnych potrzebnych do określenia położenia dowolnego punktu tej figury. Jednak wymiar to wbrew pozorom nie jest łatwe pojęcie. W ciągu wieków, matematycy borykali się z pytaniem: Co to jest wymiar i jakie są jego własności? Na domiar złego w obecnych czasach musimy się borykać niestety nie z jedną definicją. Ponieważ rodzajów wymiaru jest kilka:
Kiedyś wymiar był w matematyce liczbą przypisaną zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał wymiar równy 0, prosta wymiar równy 1, płaszczyzna wymiar równy 2.Jednak wraz z postępem nauk matematyczno – przyrodniczych pojawiły się nowe definicje wymiaru a istniejące zostały rozwinięte. Niniejsze opracowanie nakreśla tylko niezbędne definicje dla geometrii fraktalnej, gdyż sposób przypisania wymiaru zależy od działu matematyki. Dla przykładu, wymiar w przestrzeni liniowej definiuje liczba elementów jej bazy (liniowo niezależny układ wektorów rozpinający przestrzeń).Liczba definicji wymiarów została skomplikowana, gdy odkryto krzywe pozwalające wypełnić obiekt dwuwymiarowy. Wszystko ma swój początek w topologii, która w równoznaczny sposób traktuje krzywą Kocha jak i prostą. Natomiast płaszczyzna jest równoznaczna z naszpikowaną wzniesieniami i dolinami powierzchnią. Jeśli chodzi o topologię, to jest ona gałęzią matematyki, zajmująca się kwestiami formy i kształtu. Powstał problem, który niepokoił matematyków. Mimo, iż znane było stwierdzenie że wymiar obiektu X jest to liczba niezależnych parametrów (współrzędnych), które są potrzebne do jednoznacznego opisu jego punktów, to jednak udowodniono istnienie obiektów pośrednich, niebędących ani krzywą, ani płaszczyzną. Krzywa Kocha, mająca wymiar topologiczny równy 1, odbiega od wymiaru Hausdorffa wynoszącego log 4 / log 3=1,2618. Gdzie niecałkowity wymiar to typowa cecha obiektów fraktalnych. |
|
|