Jednostkę urojoną definiuje się od łacińskiego słowa imaginarius (w elektronice czasami używa się j aby nie pomylić z natężeniem prądu) jako liczbę, której kwadrat równa się -1. Dodanie jednostki urojonej prowadzi do uogólnienia pojęcia liczby, mianowicie do liczb zespolonych, które odgrywają wielką rolę w algebrze i analizie i znajdują konkretne interpretacje w pewnych zagadnieniach geometrycznych i fizycznych.

Postać ogólna liczby zespolonej:

 

gdzie i może przybierać dowolne wartości rzeczywiste. Liczbę nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę — częścią urojoną liczby zespolonej a. Oznaczenia:

gdzie re to realia co oznacza rzeczywisty, natomiast im imaginarius oznaczający urojony. Gdy β =0 wtedy a= α (liczba rzeczywista jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej); gdy , wtedy (liczba urojona, szczególny przypadek liczby zespolonej).

Interpretacja geometryczna.

Liczby rzeczywiste można przedstawić za pomocą punktów na prostej liczbowej, liczby zespolone przedstawia się za pomocą punktów na płaszczyźnie: liczbę

przedstawia punkt o odciętej α i rzędnej β.

Liczby rzeczywiste przedstawia się za pomocą punktów na osi odciętych (oś rzeczywista), a urojone za pomocą punktów na osi rzędnych (oś urojona przedstawiona na rysunku powyżej). Dowolny punkt płaszczyzny jest wyznaczony za pomocą wektora wodzącego tego punktu, zatem każdej liczbie zespolonej odpowiada określony wektor leżący na płaszczyźnie i prowadzący z bieguna do punktu odpowiadającego danej liczbie zespolonej przedstawionej na rysunku poniżej. Liczby zespolone mogą być przedstawione za pomocą punktów lub wektorów.

Równość liczb zespolonych.

Dwie liczby zespolone są równe; jeżeli ich części rzeczywiste i urojone są równe. Dwie liczby zespolone w interpretacji geometrycznej są równe, jeżeli odpowiadające im punkty mają równe odcięte i równe rzędne. W odwrotnym przypadku liczby są nierówne; pojęcie większa liczba i mniejsza liczba w dziedzinie liczb zespolonych nie istnieje.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wyrażenie , nazywamy postacią

algebraiczną zapisu liczby zespolonej; jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu przedstawiającego liczbę zespoloną wprowadzimy jego współrzędne biegunowe, to otrzymamy postać trygonometryczną zapisu liczby zespolonej:

Gdzie p, czyli długość promienia wodzącego, nazywa się modułem albo bezwzględną wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolema, czyli kąt między osią biegunową a promieniem wodzącym, wyrażony w mierze łukowej, nazywa się argumentem liczby zespolonej i oznacza się symbolem arg a:

Związek między p,φ i α,β jest taki sam jak między współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskimi punktu na płaszczyźnie, mianowicie w przypadku gdy, p jest różne od 0 mamy związek:

Liczba 0 ma moduł p=0, a argument jest nieoznaczony. Każda liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów różniących się o wielokrotność liczby 2π. Wartością główną argumentu liczby zespolonej nazywamy jej argument zawarty w przedziale .