W tym rozdziale przybliżono, czym jest fraktal. Nie użyto słowa definicja gdyż taka nie istnieje. Według encyklopedii PWN fraktal pochodzi od słowa fractus oznaczającego złamany. Matematycznie rzecz ujmując to skomplikowana figura geometryczna, o której na pierwszy rzut oka trudno powiedzieć, czy jest krzywą, powierzchnią, czy ma jeszcze większy wymiar; charakteryzuje ją swoista regularność w nieregularności — stopień tej regularności jest określony liczbą niecałkowitą (wymiar fraktalny).

Fraktale mają swoje pierwowzory w świecie fizycznym i są nimi krzywe i powierzchnie ilustrujące wszelkie przypadkowe nieregularności:

- ruchy Browna,

- wahania cen giełdowych,

- różnorodne kształty płatków śniegu,

- zakręty linii brzegowych oraz inne.

Do badań matematycznych wprowadził je w 1975r. francuski matematyk Benoit Mandelbrot. Jednym z pierwszych fraktali, które pojawiły się w rozważaniach matematyków przed wprowadzeniem tego pojęcia był dywan Sierpińskiego, który ujrzał światło dzienne ok. 1920r. Innym przykładem dawno znanego fraktala powstałego około 1904r. jest śnieżynka Kocha będąca jednym z najprostszych matematycznych modeli pełnej linii brzegowej. Fraktale trafiły do matematyki z nauk przyrodniczych i technicznych, a badane zaawansowanymi metodami współczesnej matematyki znów znajdują zastosowanie do opisu zjawisk przyrody i techniki, np. turbulencji i chaosu; dzięki komputerom można je efektywnie badać, a w grafice komputerowej mają zastosowanie do tworzenia obrazów.

W próbie opisu wraz z niecałkowitym wymiarem pojawia się również samopodobieństwo. Dla klasyfikacji tych obiektów, należy napisać podpunkty, które w większym lub mniejszym stopniu spełniać będą, co jest, a co nie jest fraktalem.

W „Fraktal Geometry of Nature” za najważniejsze cechy określające fraktale, uważa się:

- fraktale nie są określane wzorem, lecz zależnością rekurencyjną,

- są samopodobne,

- ich wymiar nie jest, lub nie musi być liczbą całkowitą.

Patrząc na te cechy wyraźnie widać, że fraktale to całkowicie inna i odmienna grupa obiektów matematycznych. Opis fraktali dobrze ujmuje cytat: „Wraz z kolejnymi iteracjami, wynik transformacji zostaje coraz bardziej przybliżony. Owszem, czasem stosuje się wzory jako transformacje, ale nie jest to obowiązkiem”. Punkt drugi mówi o samopodobieństwie fraktali. Jest to cecha, która decyduje o ich pięknie. Każdy fraktal składa się z nieskończonej liczby małych kopii siebie lub swoich fragmentów. Czasem bywa także, że w powiększeniu jednego fraktala znajdujemy kopie innych, jak jest to w zbiorze Mandelbrota, w którym znajdują się kopie wszystkich zbiorów Julii. Punkt trzeci wynika z faktu, że wymiar fraktalny oblicza się inaczej niż wymiar zwykłych figur geometrycznych. Tutaj patrząc na fraktal nie możemy intuicyjnie obliczyć jego wymiaru. Najczęściej wymiar fraktalny jest liczbą niewymierną, jednak i od tego zdarzają się wyjątki.

Prof. Kudrewicz w pracy "Fraktale i chaos" pisze: fraktalem na płaszczyźnie nazywamy dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X. To stwierdzenie później ułatwi zrozumienie wymiaru fraktalnego. Poniżej przedstawiono jeden z najogólniejszych podziałów fraktali:

- fraktale stochastyczne (występujące w naturze),

- fraktale niestochastyczne (niewystępujące w naturze).

Teoria fraktali daje możliwość zobaczenia wcześniej ukrytego piękna matematyki. Pierwszy raz w historii człowieka widać tak bliski związek matematyki z naturą. Dopiero teraz można oderwać się od przyrządów matematycznych, wyjść na świeże powietrze i zobaczyć piękne idealne struktury będące fraktalami. Do tego celu wystarczy inne spojrzenie na świat.

Podsumowując rozważania literaturowe można zapisać, iż fraktalem jest obiekt, którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha jest większy od wymiaru topologicznego. Wymiar ten to zależność między powierzchnią lub objętością a długością danego fraktala, jej wynik jest przeważnie wartością niewymierną. Często również wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Każdy wycinek jest podobny do całości i niezależnie od powiększenia ma coraz to nowsze szczegóły.

Po przeanalizowaniu, ukażą się fraktale w każdym niemal kształcie wymyślonym przez przyrodę. Nie byłoby możliwości opisu struktur przyrody gdyby nie geometria fraktalna. Nie dałoby się opisać chmur, kształtu drzew, łańcuchów górskich. Ekonomia i meteorologia nie miałaby narzędzia do prognozowania. Metalurgia nie zrozumiałaby właściwości fraktalnych powierzchni metalu i pęknięć, astronomia - rozłożenia galaktyk we wszechświecie.

Geometria fraktalna występuje w każdej dziedzinie nauki, od astronomii po zoologię, bada populacje, białka a nawet kod DNA. Prognozuje pogodę jak i kursy akcji na giełdzie. W informatyce symuluje krajobrazy jak i pomaga je przekształcać oraz kompresować. Nieliczne pozostają dziedziny, w których nie odcisnęła swojego piętna, o ile jeszcze takowe istnieją.