Aby przejść do omawiania fraktali trzeba powiedzieć, czym jest samopodobieństwo. Wiele razy już przytaczane słowo nie doczekało się jeszcze definicji w tym opracowaniu. Samopodobieństwo oznacza, że dana rzecz jest podobna do samej siebie. Nasuwa się tu definicja podobieństwa, poznana już w szkole podstawowej. Dwa elementy są do siebie podobne, gdy:

- posiadają ten sam kształt,

- kąty, które sobie odpowiadają są równe,

- odcinki odpowiadające sobie mają takie same proporcje.

Ta prosta definicja, choć nie w pełni, jednak przedstawia istotę tematu. Fraktale powiększone w dowolnie wybranym miejscu, są podobne do fraktali w skali 1:1. W każdym obiekcie rzeczywistym samopodobieństwo można zaobserwować tylko na pewnych poziomach. Powiększając obiekt, dojdzie on do skali, w której będzie widać atomy, nieodzwierciedlające rzeczywistego wyglądu danego obiektu.

Samopodobieństwo jest bardzo powszechne w przyrodzie. Mały listek paproci jest podobny do całego liścia co przedstawiono na rysunku poniżej.

Widoczne samopodobieństwo można zaobserwować na przykładzie rzeki i jej dorzecza:

Kalafior równie świetnie odzwierciedla tę idę. Różyczka kalafiora oddzielona od całości przypomina jego kształt, choć w pomniejszeniu. Części te mogą znów zostać podzielone i dalej będą przypominać cały kalafior. I tak przez kilka generacji, aż niemożliwe staje się dzielenie.

Tą samą własność można pokazać na przykładzie kory, wyładowania atmosferycznego jakim jest błyskawica, szron na szybie lub stalaktyt.

W matematycznych modelach fraktali, te własności mogą być przenoszone w nieskończoność. Taką cechę posiada również trójkąt Sierpińskiego.

 

W tradycyjnych figurach czy kształtach geometrycznych – takich jak trójkąty, koła, czy prostokąty, nie widać takiej cechy. Wraz z powiększeniem wycinka figury, przestaje ona przypominać obraz niepowiększony. Wycinek koła nie ma własności koła, co innego kalafior.

Pojęcie samopodobieństwa mimo swojej prostoty, może sprawić kłopot. Dobrym przykładem jest krzywa Peano, która na początku tworzenia prezentuje samopodobieństwo, ale wraz z wypełnianiem przestrzeni staje się wypełnionym czworokątem.

Ludzki wzrok nie jest w stanie dostrzec samopodobieństwa, jednak krzywa ta jest doskonale samopodobna. Na potrzeby matematyki powstało kilka definicji samopodobieństwa. Jeżeli obiekt fraktalny ma powiększenia podobne do siebie, ale nie identyczne, świadczy to o samopodobieństwie statystycznym. Natomiast samopodobieństwo afiniczne ma w swoich powiększeniach pewne deformacje typu pochylenia, czy obrót. Gdy powiększenie jest idealną kopią całości samopodobieństwo nazwano ścisłym i takie samopodobieństwo posiada krzywa Kocha i trójkąt Sierpińskiego. Jeżeli dany punkt ma własności samopodobieństwa i dookoła nie jest rozróżniane samopodobieństwo, wtedy mowa o samopodobieństwie w punkcie, które jest widoczne w zbiorze Mandelbrota. Punkt jest granicą, w której wielkość kopii maleje do zera. Można to wytłumaczyć na przykładzie obrazu, na którym namalowano rękę trzymającą obraz, i tak w nieskończoność. To doskonały przykład sprzężenia zwrotnego. Wszystkie kopie dążą do jednego punktu, który posiada cechy samopodobieństwa i jest granicą, w której wielkość dąży do zera.